PENROSE TESSELLATIONS



Las teselaciones de Penrose son conocidas por rellenar el plano de forma no periódica, con unas pocas teselas. Las más curiosas están formadas por "flechas" y "cometas", dos figuras que se obtienen cortando un rombo como indica la siguiente imagen:

Penrose tilings are known for filling the plane of such irregular with a few tiles. The most curious are formed by "darts" and "kites", two figures obtained by cutting a diamond as shows the following picture:

Fuente: wikipedia

La unión de estas piezas debe realizarse de manera que coincidan los colores (linea roja con roja y linea verde con verde), y esto obliga a que alrededor de cada vértice sólo aparezcan 7 formas posibles, como nos va a mostrar la siguiente foto. Con Polifieltros 3D, hemos logrado respetar esta regla de unión cosiendo adecuadamente los machos y las hembras del velcro en el borde de cada pieza. El trabajo de costura es bastante laborioso, pero el resultado merece la pena, como veréis más abajo.

These pieces should be joined by matching the colors accordingly (red line with red and green to green line), and this requires that around each vertex only 7 possible forms can appear, as shows the next photo. With Polifieltros 3D, we have to respect the rule of union properly sewing males and females of the velcro on the edge of each piece. Sewing work is quite laborious, but the result is worth it, as you will see below.

Arriba: el sol, la estrella, el as y el dos. Abajo: el jocker, la reina y el rey.  
Mientras montas tu mosaico, puedes fijarte en las figuras que aparecen en cada vértice, recrearte con distintas combinaciones de colores, intentando respetar la simetría pentagonal, o no, eso depende de tus gustos, pero ten cuidado, porque no siempre es posible continuar el mosaico sin dejar huecos (si así te lo has propuesto).

While you ride your mosaic, you can look at the figures that appear at each vertex, recrearte with different color combinations, trying to respect the symmetry pentagonal or not, it depends on your taste, but beware, it is not always possible to continue the mosaic without gaps (if you've set it).

Las posibilidades son muy grandes, y aumentan con el número de piezas, claro. Una de las propiedades teóricas que satisfacen estos mosaicos de Penrose es que cualquier región finita de un mosaico que tesele el plano completamente, aparecerá repetida infinitas veces [1]. Esto es bastante sorprendente pues estos mosaicos no son periódicos, es decir, no hay ninguna traslación que deje invariante el mosaico.

The possibilities are very large, and increase with the number of pieces, of course. One of the theoretical properties that meet these Penrose tilings is that any finite region of a mosaic tesele completely level, you will endlessly repeated [1]. This is quite surprising as these tiles are not periodic, ie there is no longer translational invariant mosaic.

Al acabar tu mosaico, llega lo más divertido: puedes doblar las piezas y unir los bordes, como quieras, para formar bonitas figuras tri-dimensionales. Os dejamos ya con algunas secuencias.


At the end of your mosaic, comes the fun part: you can bend the pieces and joining the edges, as you like, to form three-dimensional beautiful figures. We leave you now with some sequences.




























Juego de niños (y mayores) / Child's play (and older)

Las piezas pueden tener el velcro de las cometas cosido al revés; esto permite que flechas y cometas se unan de modo contrario y, así, formar otro tipo de mosaicos, con simetría pentagonal, e incluso con valles y montañas. A los chavales les encantan, esperamos que a los que visitáis esta página os gusten también. Enhorabuena a los niños y niñas por las figuras tan bonitas que han formado.

Parts may have Velcro sewn upside down kites, this allows arrows and kites to join so contrary and thus form another type of mosaic, with pentagonal symmetry, and even with valleys and mountains. For the kids love them, we hope that you visit this page which you like too. Congratulations to the boys and girls as beautiful figures that have formed.




Ya en casa, Sara en pantuflas, siguió con su mosaico y lo terminó de cerrar

Con su amiga Nerea, otro día, hicieron un mosaico muy bonito, no pude resistirme a sacarles fotos. Por turnos, iban eligiendo la forma, el color y el lugar por donde pegarlo.




Otro amigo suyo, Lorenzo, al verlo al día siguiente se puso a jugar también.









Para hacer este ``jarrón'', necesitó un poco de ayuda

Esto recuerda un poco a Gaudí, ¿verdad?



Diego comienza un mosaico pero no sabe ni cómo, ni cuándo terminará... Al ser las piezas flexibles, se pueden formar mosaicos que no son planos, formando montículos. 






Le dije que parase, que ya era suficiente





[1] Si te interesa conocer más acerca de las curiosidades matemáticas que esconden los mosaicos de Penrose, vista la página de Wikipedia.

PD: Este juego ha sido presentado en la  Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, organizado en el blog Scientia potentia est.